Question

已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，C为⊙O₂上一点（不与A，B，O₁重合），直线CB与⊙O₁交于另一点D．
（1）如图（1），若AD是⊙O₁的直径，AC是⊙O₂的直径，求证：AC=CD；
（2）如图（2），若C是⊙O₁外一点，求证：O₁C丄AD；
（3）如图（3），若C是⊙O₁内的一点，判断（2）中的结论是否成立？

Answer 1

【答案】分析：（1）连接O₁O₂，连接C0₁，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；
（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O₁，得出∠ABC=∠E，再利用=，得出∠E=∠AO₁C，进而得出CO₁∥ED即可求出；
（3）根据已知得出∠B=∠EO₁C，又∠E=∠B，即可得出∠EO₁C=∠E，得出CO₁∥ED，即可求出．
解答：（1）证明：连接O₁O₂，连接C0₁
∵AC为⊙O₂直径
∴∠AO₁C=90°
即CO₁⊥AD，
∵AO₁=DO₁
∴DC=AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：连接AO₁，连接AB，延长AO₁交⊙O₁于点E，连接ED，
∵四边形AEDB内接于⊙O₁，
∴∠E+∠ABD=180°，
∵∠ABC+∠ABD=180°，
∴∠ABC=∠E，
又∵=，∴∠ABC=∠AO₁C，
∴∠E=∠AO₁C，
∴CO₁∥ED，
又AE为⊙O₁的直径，∴ED⊥AD，
∴O₁C⊥AD，

（3）（2）中的结论仍然成立．
证明：
连接AO₁，连接AB，延长AO₁交⊙O₁于点E，连接ED，
∵∠B+∠AO₁C=180°，∠EO₁C+∠AO₁C═180°，
∴∠B=∠EO₁C，
又∵∠E=∠B，
∴∠EO₁C=∠E，
∴CO₁∥ED，又ED⊥AD，
∴CO₁⊥AD．
点评：此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．