Question

已知△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点(与点A、B不重合)，Q是BC边上的动点(与点B、C不重合)．

(1)如图所示，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；

(2)当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12 　　∴AB＝13． 　　∵Q是BC的中点． 　　∴CQ＝QB． 　　又∵PQ∥AC． 　　∴AP＝PB，即P是AB的中点． 　　∴Rt△ABC，CP＝． 　　(2)解：当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形． 　　以CQ为直径作半圆D． 　　①当半圆D与AB相切时，设切点为M， 　　连结DM，则DM⊥AB，且AC＝AM＝5． 　　∴MB＝AB－AM＝13－5＝8． 　　设CD＝x，则DM＝x，DB＝12－x． 　　在Rt△DMB中，DB2＝DM2＋MB2． 　　即(12－x)2＝x2＋82． 　　解之得：x＝ 　　∴CQ＝2x＝ 　　即当CQ＝且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角 　　形． 　　②当＜CQ＜12时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形． 　　③当0＜CQ＜时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°．此时△CPQ不可能为直角三角形． 　　∴当≤CQ＜12时，△CPQ可能为直角三角形．