Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=﹣x²+bx+c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？
（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， ∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣3x+4． 令y=0，得﹣x2﹣3x+4=0，解得x1=﹣4，x2=1， ∴C（1，0）； （2）如答图1所示，设D（t，0）． ∵OA=OB， ∴∠BAO=45°， ∴E（t，t），P（t，﹣t2﹣3t+4）． PE=yP﹣yE=﹣t2﹣3t+4﹣t=﹣t2﹣4t=﹣（t+2）2+4， ∴当t=﹣2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（﹣2，6）； （3）存在．如答图2所示，过N点作NH⊥x轴于点H． 设OH=m（m>0）， ∵OA=OB， ∴∠BAO=45°， ∴NH=AH=4﹣m， ∴yQ=4﹣m．又M为OA中点， ∴MH=2﹣m．△MON为等腰三角形： ①若MN=ON，则H为底边OM的中点， ∴m=1， ∴yQ=4﹣m=3． 由﹣xQ2﹣3xQ+4=3，解得：xQ=， ∴点Q坐标为（，3）或（，3）； ②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中， 根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2， 即22=（4﹣m）2+（2﹣m）2， 化简得：m2﹣6m+8=0， 解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）， ∴yQ=2，由﹣xQ2﹣3xQ+4=2，解得：xQ=， ∴点Q坐标为（，2）或（，2）； ③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中， 根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2， 即22=（4﹣m）2+m2， 化简得：m2﹣4m+6=0， ∵△=﹣8<0， ∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形． 所求Q点的坐标为：（，3）或（，3）或 （，2）或（，2）．