Question

如图所示，已知D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE=CF。  

求证：（1）△ABC 是等腰三角形；
（2）在什么条件下，四边形AFDE 是正方形？请证明之。

Answer 1

解：（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90°，
又∵BD=CD，BE=CF，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C
故△ABC是等腰三角形。
（2）四边形AFDE是正方形
证明：∵∠A=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形AFDE是矩形，
又∵Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
∴四边形AFDE是正方形。