Question

如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D．

(1)求证：∠EAC＝∠CAB；

(2)若CD＝4，AD＝8：

①求O的半径；

②求tan∠BAE的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连接OC．　1分 　　∵CD是⊙O的切线 　　∴CD⊥OC 　　又∵CD⊥AE 　　∴OC∥AE 　　∴∠1＝∠3　2分 　　∵OC＝OA 　　∴∠2＝∠3 　　∴∠1＝∠2 　　即∠EAC＝∠CAB　3分 　　(2)解：①连接BC． 　　∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D 　　∴∠ACB＝∠ADC＝90° 　　∵∠1＝∠2 　　∴△ACD∽△ABC 　　∴　5分 　　∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80 　　∴AB＝＝10 　　∴⊙O的半径为10÷2＝5．　6分 　　②连接CF与BF． 　　∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形 　　∴∠ABC＋∠AFC＝180° 　　∵∠DFC＋∠AFC＝180° 　　∴∠DFC＝∠ABC 　　∵∠2＋∠ABC＝90°，∠DFC＋∠DCF＝90° 　　∴∠2＝∠DCF 　　∵∠1＝∠2 　　∴∠1＝∠DCF 　　∵∠CDF＝∠CDF 　　∴△DCF∽△DAC 　　∴　8分 　　∴DF＝＝2 　　∴AF＝AD－DF＝8－2＝6 　　∵AB是⊙O的直径 　　∴∠BFA＝90° 　　∴BF＝＝8 　　∴tan∠BAD＝．　10分