Question

已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值＝________．

Answer 1

答案：5
解析：

分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP＋NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP＋NP＝QN＝BC，即可得出答案． 　　解答：解： 　　作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP＋NP的值最小，连接AC， 　　∵四边形ABCD是菱形， 　　∴AC⊥BD，∠QBP＝∠MBP， 　　即Q在AB上， 　　∵MQ⊥BD， 　　∴AC∥MQ， 　　∵M为BC中点， 　　∴Q为AB中点， 　　∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形， 　　∴BQ∥CD，BQ＝CN， 　　∴四边形BQNC是平行四边形， 　　∴NQ＝BC， 　　∵四边形ABCD是菱形， 　　∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4， 　　在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC＝5， 　　即NQ＝5， 　　∴MP＋NP＝QP＋NP＝QN＝5， 　　故答案为：5． 　　点评：本题考查了轴对称－最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．

提示：

轴对称－最短路线问题；菱形的性质．