Question

如图，在平面直角坐标系中，直线AC：y＝x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax²＋bx＋c过点A、点C，且与x轴的另一交点为B(x₀，0)，其中x₀＞0，又点P是抛物线的对称轴l上一动点．

(1)求点A的坐标，并在图1中的l上找一点P₀，使P₀到点A与点C的距离之和最小；

(2)若△PAC周长的最小值为10＋2，求抛物线的解析式及顶点N的坐标；

(3)如图2，在线段CO上有一动点M以每秒2个单位的速度从点C向点O移动(M不与端点C、O重合)，过点M作MH∥CB交x轴于点H，设M移动的时间为t秒，试把△P₀HM的面积S表示成时间t的函数，当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；

(4)在(3)的条件下，当S＝时，过M作x轴的平行线交抛物线于E、F两点，问：过E、F、C三点的圆与直线CN能否相切于点C？请证明你的结论．(备用图图3)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由题意直线AC与x轴的交点， 　　所以当y＝0，则x＝－6， 　　所以点A(－6，0)． 　　同理点C(0，8)， 　　设点A关于y轴对称点为B(，0)， 　　由题意则＝2x0＋6． 　　则直线BC为y＝－x＋8， 　　代入x＝x0，则y＝－x0＋8， 　　所以该点为(x0，x0＋8)， 　　即(x0，－＋8)； 　　(2)由(1)可知三角形PAC最小即为AC＋BC＝10＋2， 　　＋＝10＋2， 　　解得x0＝2或x0＝－8(不符舍去)， 　　则点B(10，0)， 　　由点A，B，C三点的二次函数式为y＝－x2＋x＋8． 　　点N(2，16)； 　　(3)如图，作MN⊥BC与N， 　　则在三角形OBC∽三角形CMN， 　　所以， 　　即h＝t． 　　因为MH∥BC， 　　所以， 　　解得MH＝BC＝×2＝(8－2t)， 　　S＝MHh＝×(8－2t)×t＝－t2＋t， 　　因为每秒移动2个单位， 　　则当t＝2时符合范围0＜t＜4， 　　所以当t为2时S最大； 　　(4)把S的取值代入(3)中表达式中求得t， 　　从而得到点M的坐标， 　　S＝，即＝t2＋t 　　则解得t＝2， 　　则由题意知CEF三点所在圆半径为4， 　　所以直线CN与CFE所在圆相切．