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    在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为
    		5
    、
    		10
    、
    		13
    ，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．
    （1）△ABC的面积为：
    3.5
    3.5
    ．
    （2）若△DEF三边的长分别为
    		5
    、
    		8
    、
    		17
    ，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积为
    3
    3
    ．
    （3）如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
    （4）如图4，一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PRBA，RQDC，QPFE的面积分别为13m2、25m2、36m2，则六边形花坛ABCDEF的面积是
    110
    110
    m2．
    分析：（1）利用△ABC所在的正方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
    （2）根据网格结构和勾股定理作出△DEF，再利用△DEF所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解；
    （3）利用同角的余角相等求出∠BAG=∠AEP，然后利用“角角边”证明△ABG和△EAP全等，同理可证△ACG和△FAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=AG=FQ；
    （4）过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，在Rt△PRH和Rt△RQH中，利用勾股定理列式表示出PQ，然后解无理方程求出h，从而求出△PQR的面积，再根据六边形被分成的四个三角形的面积相等，总面积等于各部分的面积之和列式计算即可得解．
    解答：解：（1）△ABC的面积=3×3-
    1
    2
    ×2×1-
    1
    2
    ×3×1-
    1
    2
    ×2×3=，
    =9-1-1.5-3，
    =9-5.5，
    =3.5；

    （2）△DEF如图2所示；
    面积=2×4-
    1
    2
    ×1×2-
    1
    2
    ×2×2-
    1
    2
    ×1×4，
    =8-1-2-2，
    =8-5，
    =3；

    （3）∵△ABE是等腰直角三角形，
    ∴AB=AE，∠BAE=90°，
    ∴∠PAE+∠BAG=180°-90°=90°，
    又∵∠AEP+∠PAE=90°，
    ∴∠BAG=∠AEP，
    在△ABG和△EAP中，
    ∠BAG=∠AEP
    ∠AGB=∠EPA=90°
    AB=AE
    ，
    ∴△ABG≌△EAP（AAS），
    同理可证，△ACG≌△FAQ，
    ∴EP=AG=FQ；

    （4）如图4，过R作RH⊥PQ于H，设PH=h，
    在Rt△PRH中，PH=
    		PR2-RH2
    =
    		25-h2
    ，
    在Rt△RQH中，QH=
    		RQ2-RH2
    =
    		13-h2
    ，
    ∴PQ=
    		25-h2
    +
    		13-h2
    =6，
    		25-h2
    =6-
    		13-h2
    ，
    两边平方得，25-h2=36-12
    		13-h2
    +13-h2，
    整理得，
    		13-h2
    =2，
    两边平方得，13-h2=4，
    解得h=3，
    ∴S△PQR=
    1
    2
    ×6×3=9，
    ∴六边形花坛ABCDEF的面积=25+13+36+4×9=74+36=110m2．
    故答案为：（1）3.5；（2）3；（4）110．
    点评：本题考查了勾股定理，构图法求三角形的面积，全等三角形的判定与性质，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键．
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    32
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