Question

已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）．
（1）猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；
（2）求折痕EF的长．

Answer 1

解：（1）菱形，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD，∠AFE=∠CEF． ∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和C重合， ∴∠CEF=∠AEF，AE=CE ∴∠AFE=∠AEF， ∴AE=AF． ∴AF=CE， 又∵AF∥CE， ∴AECF为平行四边形， ∵AE=EC，即四边形AECF的四边相等． ∴四边形AECF为菱形． （2）∵AB=9cm，BC=3cm， ∴AC=3cm，AF=CF ∴在Rt△BCF中，设BF=xcm，则CF=（9﹣x）cm， 由勾股定理可得（9﹣x）2=x2+32， 即18x=72，解得x=4， 则CF=5，BF=4， 由面积可得：AC·EF=AF·BC 即3·EF=5×3 ∴EF=cm．