Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于F。

（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC于H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长。

Answer 1

解：（1）DF与⊙O的位置关系是相切。
理由如下：连接OD，
∵△ABC是等边△，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BDO=∠A=60°，
∴OD∥AC；
又∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）设AF=x（x>0），则AD=2x，BD=8-2x
2x=8-2x，所以x=2，FC=8-x=8-2=6
在Rt△FHG中，∠C=60°，∠HFC=30°，FH=。