Question

若抛物线y=-x²+mx-1和以A（0，3），B（3，0）为两端点的线段AB有两个不同的交点，则m的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先用待定系数法求出直线AB的解析式，联立方程根据二次函数的图象与线段AB有两个不同交点求出m的范围即可．

解答：解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（0，3），B（3，0），
∴

b=3 3k+b=0

，解得

k=-1 b=3

，
∴线段AB的方程为y=-x+3（0≤x≤3），
∵二次函数图象和线段AB有两个不同的交点，
∴方程组

y=-x2+mx-1 y=-x+3，(0≤x≤3)

有两个不同的实数解．
消元得：x²-（m+1）x+4=0（0≤x≤3），
设f（x）=x²-（m+1）x+4，
则

△=(m+1)2-4×4＞0 f(0)=4≥0 f(3)=9-3(m+1)+4≥0 0＜ m+1 2 ＜3

，
解得3≤x≤

10

3

．
故答案为：3≤x≤

10

3

．

点评：本题考查的是二次函数的性质，利用二次函数和二次方程之间的关系是解决本题的关键．