Question

如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C．

(1)当AB＝4，DC＝1，BC＝4时，在线段BC上是否存在点P，使AP⊥PD？如果存在，求线段BP的长；如果不存在，请说明理由．

(2)设AB＝a，DC＝b，AD＝c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在 直线BC上存在点P，使AP⊥PD？

Answer 1

答案：
解析：

(1)如果存在点P，使AP⊥PD，那么∠APD＝，∴∠APB＋∠CPD＝，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝，∴∠APB＋∠BAP＝，∴∠BAP＝∠CPD，∴△APB∽△PDC，∴＝，设BP＝x，则PC＝4－x，∴＝，∴在线段BC上存在点P，使AP⊥PD，此时，BP—2; 　　(2)如果在直线BC上存在点P，使AP⊥PD，那么点P在以AD为直径的圆上，且圆的半径为c．取AD的中点O，过点O作OE⊥BC，垂足为E．∵∠B＝∠OEC＝∠C＝，∴AB∥OE∥DC．∵AO＝DO，∴BE＝CE．∴OE＝(AB＋DC)＝(a＋b)．∴当OE＜c，即a＋b＜c时，以AD为直径的圆与直线BC相交．此时，存在⊙O和直线BC的交点P1、P2，使AP1⊥P1D，AP2⊥P2D．当OE＝c，即a＋b＝c时，以AD为直径的圆与直线BC相切．此时，存在切点P，使AP⊥PD．当OE＞c，即a＋b＞c时，以AD为直径的圆与直线BC相离．此时，在直线BC上不存在点P，使AP⊥PD．综上，当a＋b≤c时，在直线BC上存在点P，使AP⊥PD．