Question

如图，已知在等腰△ABC中，∠A＝∠B＝30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D．

(1)尺规作图：过A，D，C三点作⊙O(只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法)；

(2)求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线；

(3)若过A，D，C三点的圆的半径为，则线段BC上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作出圆心O　　1分 　　以点O为圆心，OA长为半径作圆　　1分 　　(2)证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°． 　　∴AD是⊙O的直径　　1分 　　连结OC，∵∠A＝∠B＝30°， 　　∴∠ACB＝120°，又∵OA＝OC， 　　∴∠ACO＝∠A＝30°，　　1分 　　∴∠BCO＝∠ACB－∠ACO＝120°－30°＝90°　　1分 　　∴BC⊥OC， 　　∴BC是⊙O的切线　　1分 　　(3)存在　　1分 　　∵∠BCD＝∠ACB－∠ACD＝120°－90°＝30°， 　　∴∠BCD＝∠B，即DB＝DC． 　　又∵在Rt△ACD中，DC＝AD，∴BD＝　　1分 　　解法一：①过点D作DP1∥OC，则△P1DB∽△COB，， 　　∵BO＝BD＋OD＝， 　　∴P1D＝×OC＝×＝　　1分 　　②过点D作DP2⊥AB，则△BDP2∽△BCO，∴， 　　∵BC＝ 　　∴　　1分 　　解法二：①当△BP1D∽△BCO时，∠DP1B＝∠OCB＝90°． 　　在Rt△BP1D中， 　　DP1＝　　1分 　　②当△BDP2∽△BCO时，∠P2DB＝∠OCB＝90° 　　在Rt△BP2D中， 　　DP2＝　　1分