Question

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断△SBR的形状；
③试探索在线段SR上是否存在点M，使得以点P、S、M为顶点的三角形和以点Q、R、M为顶点的三角形相似？若存在，请找出M点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵B点坐标为（0，2）， ∴OB=2， ∵矩形CDEF面积为8， ∴CF=4． ∴C点坐标为（﹣2，2），F点坐标为（2，2）． 设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c． 其过三点A（0，1），C（﹣2，2），F（2，2）． 得：， 解这个方程组得：a=，b=0，c=1， ∴此抛物线的解析式为y=x2+1； （2）①证明：如答图1，过点B作BN⊥PS，垂足为N． ∵P点在抛物线y=x2+1上， 可设P点坐标为（a，a2+1）． ∴PS=a2+1，OB=NS=2，BN=﹣a． ∴PN=PS﹣NS=a2﹣1， 在Rt△PNB中， PB2=PN2+BN2=（a2﹣1）2+a2=（a2+1）2， ∴PB=PS=a2+1； ②根据①同理可知BQ=QR． ∴∠1=∠2， 又∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3， 同理∠SBP=∠5， ∴2∠5+2∠3=180°， ∴∠5+∠3=90°， ∴∠SBR=90°． ∴△SBR为直角三角形； ③如答图2，作QN⊥PS，设PS=b，QR=c， ∵由①知PS=PB=b，QR=QB=c，PQ=b+c，PN=b﹣c． ∴QN2=SR2=（b+c）2﹣（b﹣c）2， ∴SR=2． 假设存在点M，且MS=x，MR=2﹣x． 若使△PSM∽△MRQ，则有． 即x2﹣2x+bc=0， ∴x1=x2=． ∴SR=2， ∴M为SR的中点； 若使△PSM∽△QRM，则有． ∴． ∴． ∴M点即为原点O． 综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ； 当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．

答图1 答图2