Question

如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G。

（1）求证：AF＝DF；

（2）若BC＝2AB，DE＝1，∠ABC＝60°，求FG的长。

Answer 1

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例．

【专题】证明题．

【分析】（1）连接AE、BD、根据AB∥CD，AB＝CD＝DE，得出平行四边形ABDE，即可推出答案；

（2）在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，推出△ANB是等边三角形，求出CN＝1＝AN，根据三角形的内角和定理求出∠BAC＝90°，由勾股定理求出AC，根据△AGB∽△CGE，得出＝＝，求出AG，在△BGA中，由勾股定理求出BG，求出GE、BE，根据□BDEA求出BF，即可求出答案．

【解答】（1）证明：连接BD、AE，（如图1）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵DE＝CD，

∴AB∥DE，AB＝DE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AF＝DF．

（2）解：在BC上截取BN＝AB＝1，连接AN，（如图2）

∵∠ABC＝60°，

∴△ANB是等边三角形，

∴AN＝1＝BN，∠ANB＝∠BAN＝60°，

∵BC＝2AB＝2，

∴CN＝1＝AN，

∴∠ACN＝∠CAN＝×60°＝30°，

∴∠BAC＝90°，

由勾股定理得：AC＝＝，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴△AGB∽△CGE，

∴＝＝，

∴＝，AG＝，

在△BGA中，由勾股定理得：BG＝＝，

∵＝，

∴GE＝，BE＝＋＝2，

∵四边形ABDE是平行四边形，

∴BF＝BE＝，

∴FG＝－＝．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理等，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，题目比较好，综合性比较强．