Question

如果抛物线C₁的顶点在抛物线C₂上，同时，抛物线C₂的顶点在抛物线C₁上，那么，我们称抛物线C₁与C₂关联．
（1）已知两条抛物线①：y=x²+2x-1，②：y=-x²+2x+1，判断这两条抛物线是否关联，并说明理由．
（2）抛物线C₁：y=

1

8

（x+1）²-2，动点P的坐标为（t，2），将抛物线C₁绕点P（t，2）旋转180°得到抛物线C₂，若抛物线C₂与C₁关联，求抛物线C₂的解析式．
（3）若A为抛物线C₁：y=

1

8

（x+1）²-2的顶点，B是与C₁关联的抛物线的顶点，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AB′，若点B′恰好在y轴上，求点B′的纵坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求得抛物线①的顶点坐标，然后检验是否此点在抛物线②与③上，再求得抛物线②的顶点坐标，检验是否在抛物线①上即可求得答案；
（2）首先求得抛物线C₁的顶点坐标，则可得：点P在直线y=2上，则可作辅助线：作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则可求得：点N的坐标，利用顶点式即可求得结果；
（3）根据全等三角形的知识，即可求得点B的坐标，从而求得B′点的坐标．

解答：解：（1）∵①抛物线y=x²+2x-1=（x+1）²-2的顶点坐标为M（-1，-2），
∴②当x=-1时，y=-x²+2x+1=-1-2+1=-2，
∴点M在抛物线②上；
∴抛物线①与抛物线②有关联；
∵抛物线②y=-x²+2x+1=-（x-1）²+2，其顶点坐标为（1，2），
经验算：（1，2）在抛物线①上，
∴抛物线①、②是关联的；

（2）抛物线C₁：y=

1

8

（x+1）²-2的顶点M的坐标为（-1，-2），
∵动点P的坐标为（t，2），
∴点P在直线y=2上，
作M关于P的对称点N，分别过点M、N作直线y=2的垂线，垂足为E，F，则ME=NF=4，
∴点N的纵坐标为6，
当y=6时，

1

8

（x+1）²-2=6，
解得：x₁=7，x₂=-9，
①设抛物C₂的解析式为：y=a（x-7）²+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1-7）²+6，
∴a=-

1

8

．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-

1

8

（x-7）²+6；
②设抛物C₂的解析式为：y=a（x+9）²+6，
∵点M（-1，-2）在抛物线C₂上，
∴-2=a（-1+9）²+6，
∴a=-

1

8

．
∴抛物线C₂的解析式为：y=-

1

8

（x+9）²+6； 
 
（3）若A为抛物线C₁：y=

1

8

（x+1）²-2的顶点，
∴A（-1，-2），
∵点B′恰好在y轴上，
∴AN=1，
∵BA⊥B′A，
∴∠BAM+∠B′AN=90°，
∵∠BAM+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠B′AN，
∵AB=AB′，
∴△ABM≌△B′AN，
∴BM=AN=1，AM=B′N，
∴B点的纵坐标为-1，
把y=-1代入y=

1

8

（x+1）²-2
解得：x=-1+2

2

或x=-1-2

2

，
∴B′（0，2

2

-2）或（0，-2-2

2

），
∴点B′的纵坐标是（0，2

2

-2）或（0，-2-2

2

）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标的求解方法，全等三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．