Question

如图，已知正方形OABC在直角坐标系xOy中，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点O在坐标原点．等腰直角三角板OEF的直角顶点O在原点，E、F分别在OA、OC上，且OA＝4，OE＝2．将三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE₁F₁的位置，连结CF₁，AE₁．

(1)求证：△OAE₁≌△OCF₁．

(2)若三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得OE∥CF．若存在，请求出此时E点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵四边形为正方形，∴ 　　∵三角板是等腰直角三角形，∴ 　　又三角板绕点逆时针旋转至的位置时， 　　∴　　3分 　　(2)存在　　4分 　　∵ 　　∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直， 　　又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上　　5分 　　∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和 　　此时，点分别在点和点，满足　　7分 　　当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中， 　　 　　∴∴ 　　∴点的横坐标为： 　　点的纵坐标为： 　　∴点的坐标为　　9分 　　当切点在第一象限时，点在第四象限， 　　同理可求：点的坐标为 　　综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或　　11分