Question

如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（-2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE。
（1 ）填空：点D 的坐标为（       ），点E 的坐标为（       ）。
（2 ）若抛物线经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式。
（3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y轴上时，正方形和抛物线均停止运动。
①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围。
②运动停止时，求抛物线的顶点坐标。

Answer 1

解：（1）D（-1，3）、E（-3，2）；
（2）抛物线经过（0，2）、（-1，3）、（-3，2），
则?
解得  ?
∴；
（3）①当点D运动到y轴上时，t=12，            
当0＜t≤时，如下图?

设D'C'交y轴于点F?
∵tan∠BCO==2，又∵∠BCO=∠FCC'?
∴tan∠FCC'=2，即=2?
∵CC'=5t，
∴FC'=25t，
∴S_△CC'F=CC'·FC'=t×t=5 t²；
当点B运动到点C时，t=1.?
当＜t≤1时，如下图
?
设D'E'交y轴于点G，过G作GH⊥B'C'于H，
在Rt△BOC中，BC=?
∴GH=，∴CH=GH=?
∵CC'=t，
∴HC'=t-，
∴GD'=t-?
∴S_梯形CC'D'G=；
当点E运动到y轴上时，t=，?
当1＜t≤时，如下图所示?

设D'E'、E'B'分别交y轴于点M、N?
∵CC'=t，B'C'=，∴CB'=t-，
∴B'N=2CB'=t-
∵B'E'=，
∴E'N=B'E'-B'N=-t?
∴E'M=E'N=(-t)?
∴S_△MNE'=(-t)·(-t)=5t²-15t+?
∴S_{五边形B'C'D'MN}?=S_{正方形B'C'D'E'}?-S_△MNE'?
=-(5t²-15t+)=-5t²+15t-
?综上所述，S与x的函数关系式为：
当0＜t≤时， S=5t²
当＜t≤1时，S=5t-
当1＜t≤时，S=-5t²+15t
②当点E运动到点E'时，运动停止。如下图所示

∵∠CB'E'=∠BOC=90°，∠BCO=∠B'CE'?
∴△BOC∽△E'B'C?
∴?                                                            
∵OB=2，B'E'=BC=?
∴
∴CE'=?                      
∴OE'=OC+CE'=1+=
∴E'（0，）
由点E（-3，2）运动到点E'（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位。
∵?
∴原抛物线顶点坐标为（，）
∴运动停止时，抛物线的顶点坐标为（，）