Question

如图，在边长为3的正方形ABCD中，点P从A开始沿折线AB-BC运动，连结PD交AC于Q．
（1）点P运动到AB的中点时，AQ=

 

；
（2）点P在整个运动过程中，当它到达何位置时，△ADQ为等腰三角形？

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）根据正方形的对角线等于边长的

2

倍求出AC，再根据△APQ和△CDQ相似，利用相似三角形对应边成比例求出

AQ

CQ

，然后求解即可；
（2）根据正方形的性质，当点P与点B、C重合时，△ADQ为等腰三角形，点P在BC上运动，AQ=AD时，根据两直线平行，内错角相等可得∠ADQ=∠CPQ，再根据等边对等角可得∠ADQ=∠AQD，然后求出∠CQP=∠CPQ，根据等角对等边可得CP=CQ，然后求解即可．

解答：解：（1）∵正方形ABCD的边长为3，
∴AC=

2

AD=3

2

，
∵AB∥CD，
∴△APQ∽△CDQ，
∴

AQ

CQ

=

AP

CD

，
∵点P为AB的中点，
∴AP=

1

2

AB=

1

2

CD，
∴

AQ

CQ

=

1

2

，
∴AQ=

1

1+2

×3

2

=

2

，
故答案为：

2

；

（2）①当点P运动到与点B重合时，Q为正方形对角线的交点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴QD=QA，
此时△ADQ为等腰三角形；
②当点P运动到与点C重合时，点Q也与点C重合，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DA=DQ，
此时△ADQ是等腰三角形；
③当点P在BC边上运动，且有AQ=AD时，
∵AD∥BC，
∴ADQ=∠CPQ，
∵AQ=AD，
∴∠ADQ=∠AQD，
又∵∠AQD=∠CQP（对顶角相等），
∴∠CQP=∠CPQ，
∴CQ=CP，
∵AC=3

2

，AQ=AD=3，
∴CQ=AC-AQ=3

2

-3，
∴CP=3

2

-3，
即当点P在BC边上且CP=3

2

-3时，△ADQ是等腰三角形；
综上所述，点P与点B、C重合或点P在BC边上且CP=3

2

-3时，△ADQ是等腰三角形．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，难点在于（2）根据三角形的腰长的不同和正方形的性质分情况讨论．