已知:如图.在平面直角坐标系xOy中.矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上.OC在x轴的正半轴上.OA＝2.OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D.连接DC.过点D作DE⊥DC.交OA于点E． (1)求过点E.D.C的抛物线的解析式, (2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后.角的一边与y轴的正半轴交于点F.另一边与线段OC交于点G．如果EF＝2OG.求点G� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

(1)求过点E、D、C的抛物线的解析式；

(2)将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果EF＝2OG，求点Ｇ的坐标．

(3)对于(2)中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)∵OD平分∠AOC，∠AOC＝90°

　　∴∠AOD＝∠DOC＝45°

　　∵在矩形ABCD中，

　　∠BAO＝∠B＝∠BOC＝90°，OA＝BC＝2，AB＝OC＝3

　　∴△AOD是等腰Rt△　1分

　　∵∠AOE＋∠BDC＝∠BCD＋∠BDC＝90°

　　∴∠AOE＝∠BCD

　　∴△AED≌△BDC

　　∴AE＝DB＝1

　　∴D(2，2)，E(0，1)，C(3，0)　2分

　　则过D、E、C三点的抛物线解析式为：　3分

　　(2)DH⊥OC于点H，

　　∴∠DHO＝90°

　　∵矩形ABCD中，∠BAO＝∠AOC＝90°

　　∴四边形AOHD是矩形

　　∴∠ADH＝90°．

　　∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°

　　∴∠1＝∠3

　　∵AD＝OA＝2，

　　∴四边形AOHD是正方形．

　　∴△FAD≌△GHD

　　∴FA＝GH　4分

　　∴设点G(x，0)，

　　∴OG＝x，GH＝2－x

　　∵EF＝2OG＝2x，AE＝1，

　　∴2－x＝2x－1，

　　∴x＝1．

　　∴G(1，0)　5分

　　(3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形

　　①当点P为顶点，既CP＝GP时，易求得P₁(2，2)，既为点D时，

　　此时点Q、与点P₁、点D重合，

　　∴点Q₁(2，2)　6分

　　②当点C为顶点，既CP＝CG＝2时，易求得P₂(3，2)

　　∴直线GP₂的解析式：

　　求交点Q：

　　可求的交点()和(－1，－2)

　　∵点Q在第一象限

　　∴Q₂()　7分

　　③当点G为顶点，既GP＝CG＝2时，易求得P₃(1，2)

　　∴直线GP₃的解析式：

　　求交点Q：

　　可求的交点()

　　∴Q₃()　8分

　　所以，所求Q点的坐标为Q₁(2，2)、Q₂()、Q₃()．

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