Question

如图，⊙O中，弦AB＝9，弦BC＝1，弦CD＝DA＝8．

(1)若把和交换位置，重新拼成，得到四边形，其中＝，＝CD，则四边形ABCD到四边形时，其面积发生变化了吗？说明理由．

(2)你能根据(1)中发现的结论求出图中四边形ABCD的面积吗？

Answer 1

答案：
解析：

[答案](1)不变．理由如下： 　　由于是在等圆中，＝， 　　∴∠BOC＝， 　　又OB＝OC＝＝OD． 　　∴△BOC≌△． 　　即△BOC的面积与△的面积相等 　　同理可得△COD与△的面积也相等． 　　故四边形ABCD与四边形的面积相等． 　　(2)如图，过D作DE⊥AB于E． 　　∵＝，＝， 　　∴＝CD＝8，＝BC＝1． 　　又AD＝CD＝， 　　∴＝ 　　由弦与AB不相交，不难得到∥AB．故四边形是等腰梯形． 　　∴AE＝(AB－)＝(9－1)＝4． 　　∴DE＝＝＝4． 　　∴＝(AB＋)×DE＝(9＋1)×4＝20． 　　即有四边形ABCD的面积为20． 　　[剖析]利用旋转不变形性，将和交换位置，将不规则四边形ABCD化成与它面积相等的等腰梯形，通过求四边形的面积来求四边形ABCD的面积，本题的关键是由圆心角、弧、弦之间的相等关系定理及圆的半径处处相等的事实得到全等三角形，从而说明交换位置前后的两个四边形的面积相等．

提示：

[方法提炼] 　　在同圆或等圆中，由等弧一般可联想到它所对的圆心角、弦分别相等，并由此得到一些全等三角形．