Question

如图所示，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0），B（0，-8）两点。

（1）请求出直线AB的函数表达式；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中的抛物线交x轴于D，E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b（k≠0）， ∵直线AB经过A（-6，0），B（0，-8）， ∴由此可得，解得 ∴直线的函数表达式为。 （2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得 ∵⊙M经过O，A，B三点，且∠AOB=90°， ∴AB为⊙M的直径， ∴半径MA=5， 设抛物线的对称轴交x轴于点N， ∵MN⊥x， ∴由垂径定理，得 在中， ∴ ∴顶点C的坐标为（-3，1）， 设抛物线的表达式为 ∵它经过B（0，-8）， ∴把x=0，y=-8代入上式 得 解得 ∴抛物线的表达式为。
（3）如图，连接AC，BC 在抛物线中，设 则 解得， ∴D，E的坐标分别是（-4，0），（-2，0）， ∴DE=2； 设在抛物线上存在点P（x，y），使得 则 ∴ 当时， 解得 ∴ 当时， 解得， ∴ 综上所述，这样的点存在，且有三个 。