Question

如图，已知△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线．
求证：（1）2AD＜AB+AC；
（2）∠BAD＞∠DAC；
（3）AE＜AD．

Answer 1

分析：（1）可延长AD到F，使DF=AD，在△ABF中，由三边关系即可得出结论；
（2）由△ADC≌△FDB，得∠CAD=∠F，在△ABF中，由边的大小关系即可得出角之间的关系；
（3）同（2），由角的关系亦可求解边的大小．

解答：证明：延长AD到F，使DF=AD，连接BF（如图），
易证△ADC≌△FDB，所以AC=BF，
（1）在△ABF中，AB+BF＞AD+DF，
所以2AD＜AB+AC；

（2）因为△ADC≌△FDB，所以∠CAD=∠F，
因为AB＞AC，所以AB＞BF，
所以∠F＞∠BAD，
所以∠CAD＜∠BAD；

（3）由（2），∠BAD＜∠DAC及∠BAE=∠EAC=

1

2

∠BAC，
所以∠BAD＜∠EAC，
因为AB＞AC所以∠C＞∠B，
所以∠BAD+∠B＜∠EAC+∠C，
所以∠ADE＜∠AED，所以AE＜AD．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系定理，能够熟练掌握．