Question

如图1，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q．
（1）试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）若连接EF交GA的延长线于H，由（1）中的结论你能判断并证明EH与FH的大小关系吗？
（3）图2中的△ABC与△AEF的面积相等吗？（不用证明）

Answer 1

分析：（1）根据全等三角形的判定得出△ABG≌△EAP，进而求出AG=EP．同理AG=FQ，即EP=FQ．
（2）过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题．
（3）由（1）、（2）中的全等三角形可以推知△ABC与△AEF的面积相等．

解答：解：（1）EP=FQ，理由如下：
如图1，∵Rt△ABE是等腰三角形，
∴EA=BA．
∵∠PEA+∠PAE=90°，
∠PAE+∠BAG=90°，
∴∠PEA=∠BAG
在△EAP与△ABG中，

∠EPA=∠AGB=90° ∠PEA=∠GAB EA=AB

，
∴△EAP≌△ABG（AAS），
∴EP=AG．
同理AG=FQ． 
∴EP=FQ．

（2）如图2，HE=HF．
理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．
由（1）知EP=FQ．
在△EPH与△FQH中，
∵

∠EPH=∠FQH=90° ∠EHP=∠FHQ(对顶角相等) HE=HF

，
∴△EPH≌△FQH（AAS）．
∴HE=HF；

（3）相等．理由如下：
由（1）知，△ABG≌△EAP，△FQA≌△AGC，则S_△ABG=S_△EAP，S_△FQA=S_△AGC．
由（2）知，△EPH≌△FQH，则S_△EPH=S_△FQH，
所以S_△ABC=S_△ABG+S_△AGC=S_△EAP-S_△EPH+S_△FQA-S_△FQH=S_△EAP+S_△FQA=S_△AEF，即S_△ABC=S_△AEF．
故图2中的△ABC与△AEF的面积相等．

点评：本题考查了全等三角形的证明，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了三角形内角和为180°的性质，考查了等腰三角形腰长相等的性质，本题中求证△AFQ≌△CAG是解题的关键．