Question

一种电讯信号转发装置的发射直径为31 km．现要求在一边长为30 km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：

(1)能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？

(2)至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？

答题要求：请在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．(图给出了几个边长为30 km的正方形城区示意图，供解题时选用)

Answer 1

答案：
解析：

分析：本题的关键是以发射点为中心的几个圆的面积能够覆盖正方形，设计方法较多． 　　解：(1)将题图中的正方形等分成如下图的4个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形的对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为×30＝15(km)＜31 km，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．(图案设计不唯一) 　　(2)方法一：将原正方形分割成如图中的3个矩形，使得BE＝DO＝CO，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处 　　设AE＝x km，则ED＝(30－x)km，DH＝15 km． 　　由BE＝DO，得x2＋302＝152＋(30－x)2 　　解得x＝(km) 　　所以BE＝≈30.2(km)＜31 km， 　　即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求． 　　方法二：将原正方形分割成如图中的3个矩形，使得BE＝31 km，点H是CD的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线的交点处，则AE＝＝(km)，DE＝(30－)km，DO＝≈26.8(km)＜31 km，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求． 　　方法三：要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图，用一个直径为31 km的⊙O去覆盖边长为30km的正方形ABCD，设⊙O经过点A、B且与AD、BC分别交于点E、F，连结BE，则AE＝＝(km)＜15 km＝AD，这说明用两个直径都为31 km的圆不能完全覆盖正方形ABCD． 　　所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．