Question

如图，过△ABC的边BC的中点M作直线平行于∠BAC的平分线，且交直线AC和AB的反向延长线于点F、E．求证：CF＝(AB＋AC)．

Answer 1

答案：
解析：

证明：延长FM至G，使FM＝MG，连结BG，(如图)，则 　　∵FM＝MG，BM＝MC，∠BMG＝∠CMF， 　　∴△BMG≌△CMF． 　　∴BG＝CF． 　　又∵平分∠BAC，EM∥， 　　∴∠E＝∠＝∠＝∠AFE＝∠CFG＝∠G． 　　∴AE＝AF，BE＝BG＝CF． 　　又∵BE＝AB＋AE，CF＝AC－AF， 　　∴AB＋AC＝BE＋CF＝2·CF． 　　即CF＝(AB＋AC)．

提示：

点悟：将所证等式变形为2·CF＝AB＋AC，由已知∥EM，且平分∠BAC得AE＝AF，再利用M为BC中点，构造全等三角形，将BE、CF集中到一个三角形中，间题即可解决． 　　点拨：对于证明一条线段(或几条线段和)的几倍(或几分之一)的问题，可以看作是证明线段和的特殊情况． 　　遇到中点问题，常通过延长至二倍，从而构造出全等图形，为解题带来便利．