Question

已知：如图，C为半圆O上一点，，过点C作直径AB的垂线CP，弦AE分别交PC、CB于点D、F。（1）求证：AD=CD；
（2）若DF=，∠CAE=30°，求阴影部分的面积.。

Answer 1

（1）证明:∵弧AC=弧CE ∴ ∠CAE=∠B.                 ∵CP⊥AB, ∴∠CPB=90°. ∴∠B+∠BCP=90°.                ∵AB是直径， ∴∠ACB=90°. ∴∠ACP+∠BCP=90°                 ∴∠B=∠ACP. ∴∠CAE=∠ACP ∴AD=CD （2）解：连结OC            ∵∠CAE=30°, ∴∠ACD=30°,∠COA=60°. ∴∠CDF=60°              ∵AB是直径，∴∠ACB=90°. ∴∠BCP=60°              ∴∠BCP=∠DCF=∠CFD=60°. ∴AD=CD=DF=              ∵OA=OC, ∴△AOC是等边三角形. ∴∠CAO=60°               ∴∠DAP=30°. ∵CP⊥OA,                ∴AP=ADcos30°=2   ∴OA=2AP=4.               ∴DP=ADsin30°=               ∴CP=CD+DP=2     ∴S阴影=S扇形-S△AOC=-                                       =