Question

在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，由D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．设DE=a，DF=b，且实数a，b满足9a²-24ab+16b²=0，并有2^a2b=256⁶，∠A使得方程

1

4

x²-x•sinA+

3

sinA-

3

4

=0有两个相等的实数根．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求线段BC的长．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：2^a2b=256⁶，则2^a2b=2⁴⁸，则a²b=48．化简9a²-24ab+16b²=0得：（3a-4b）²=0，
则3a-4b=0，即3a=4b，则根据

3a=4b a2b=48

，可求得a与b的值；
（2）要求BC的长需求出BD和CD的长，知BD、CD分别是直角三角形BDE和直角三角形CDF中的斜边．
又知在△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C，则根据三角函数只要知道∠B或∠C的读数即可，要求∠B或∠C的读数
需求的∠A的读数，根据判别式可以求得∠A的读数．

解答：解：（1）由条件有

3a=4b a2b=48

，解得

a=4 b=3

；
（2）又由关于x的方程的判别式△=sin²A-

3

sinA+

3

4

=（sinA-

3

2

）²=0，则sinA=

3

2

，而∠A为三角形的一个内角，所以∠A₁=60°或∠A₂=120°    2分
当∠A=60°时，△ABC为正三角形，∠B=∠C=60°
于是分别在Rt△BDE和Rt△CDF中
有BD=

4

sin60°

=

8 3

3

，CD=

3

sin60°

=2

3

所以BC=BD+DC=

14

3

3

．

当∠A=120°时，△ABC为等腰三角形，∠B=∠C=30°
同上方法可得BC=14．    3分

所以线段BC的长应为

14 3

3

或14．

点评：考查了解直角三角形以及判别式的应用．