Question

由⊙O外一点F作⊙O的两条切线，切点为B，D，AB是⊙O的直径，连接AD，BD，OF交⊙O于E，交BD于C，连接DE，BE，下列四个结论：（1）BE=DE；（2）∠FDE=∠EDB；（3）DE∥BE；（4）BD²=2AD•FC．其中正确的结论有______．（把你认为正确结论的序号全部填上）

Answer 1

解：由切线长定理知，DF=FB，∠DFO=∠OFB
∴△EFD≌△EFB，△CFD≌△CFB
∴DE=BE（故①正确），CD=CB，∠FCD=∠FCB
∵∠FCD+∠FCB=180°
∴∠FCD=∠FCB=90°
∵FB是切线，则∠FBO=90°
∴∠CBO=∠OFB
∴△OCB∽△OBF
∴BC：CF=OC：BC，即BC²=（）²=CF•CO
∴BD²=4CO•FC
∵AB是直径
∴∠ADB=90°
∴OC∥AD
∵点O是AB的中点
∴OC是△ADB的中位线，则有AD=2CO
∴BD²=2AD•FC，（故④正确）
∵DE=BE
∴∠EDC=∠EBC
∵∠FDE是弦切角
∴∠FDE=∠EBD
∴∠FDE=∠EDB，（故②正确）
由于DE与BE相交，故③不正确．
因此正确的结论有（1）（2）（4）．
分析：（1）根据切线长定理，知：FD=FB，∠DFO=∠BFO；易证得△FDE≌△DEB，因此DE=BE，弧DE=弧BE；因此（1）正确；
（2）由于弦切角∠FDE和圆周角∠EDB所对的弧是等弧，因此两角相等，故（2）正确；
（3）很显然DE、BE相交，因此它们不可能平行，故（3）错误；
（4）在Rt△FBO中，根据射影定理，可求得BC²=OC•FC，即BD²=4CO•CF；易证得OC是△ABD的中位线，则AD=2OC；联立两式可求得BD²=2AD•FC，故（4）正确．
点评：本题考查了切线长定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、弦切角定理等知识，综合性强，难度较大．