Question

如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A(0，4)、B(－2，0)、C(6，0)．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F(0，－2)．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；

(2)当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

(3)在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线经过A(0，4)、B(－2，0)、C(6，0) 　　∴得到　　2分 　　解得a＝－，b＝，c＝4 　　∴抛物线的解析式为y＝－x＋x＋4　　3分 　　(或y＝－(x＋2)(x－6)或y＝－(x－2)＋) 　　四边形OADE为正方形　　4分 　　(2)根据题意可知OE＝OA＝4　OC＝6　OB＝OF＝2 　　∴CE＝2　∴CO＝FA＝6 　　∵运动的时间为t∴CP＝FQ＝t 　　过M作MN⊥OE于N，则MN＝2 　　当0≤t＜2时，OP＝6－t，OQ＝2－t　　5分 　　∴S＝＋＝(6－t)×2＋(6－t)(2－t)＝(6－t)(4－t) 　　∴S＝t－5t＋12　　7分 　　当t＝2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形．(不写也可) 　　当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO＝ME且∠QOM＝∠PEM＝45　　8分 　　∵FQ＝CP＝t，FO＝CE＝2 　　∴OQ＝EP 　　∴△QOM≌△PEM 　　∴四边形OPMQ的面积S＝＝×4×2＝4　　10分 　　综上所述，当0≤t＜2时，S＝t－5t＋12；当2＜t＜6时，S＝4 　　(3)存在N(1，5)，N(5，)，N(2＋，－2)，N(2－，－2)　　14分