Question

如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线经过A，B两点。
（1）求A点坐标及线段AB的长；
（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒。①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围。

Answer 1

解：（1）由抛物线知：当x=0时，y=﹣2，∴A（0，﹣2）。
由于四边形OABC是矩形，所以AB∥x轴，
即A、B的纵坐标相同；
当时，，解得，
∴B（4，﹣2），∴AB=4。
（2）①由题意知：A点移动路程为AP=t，Q点移动路程为。
当Q点在OA上时，即，时，
如图1，若PQ⊥AC，则有Rt△QAP∽Rt△ABC。
∴，即，
∴。
∵，
∴此时t值不合题意。
当Q点在OC上时，即，时，
如图2，过Q点作QD⊥AB。
∴AD=OQ=7（t﹣1）﹣2=7t﹣9。
∴DP=t﹣（7t﹣9）=9﹣6t。
若PQ⊥AC，则有Rt△QDP∽Rt△ABC，
∴，即，
∴。
∵，
∴符合题意。
当Q点在BC上时，即，时，
如图3，若PQ⊥AC，过Q点作QG∥AC，则QG⊥PG，即∠GQP=90°。
∵∠QPB＞90°，
这与△QPB的内角和为180°矛盾，
此时PQ不与AC垂直。
综上所述，当时，有PQ⊥AC。
②当PQ∥AC时，如图4，△BPQ∽△BAC，∴，∴，
解得t=2，即当t=2时，PQ∥AC。
此时AP=2，BQ=CQ=1，
∴P（2，﹣2），Q（4，﹣1）。
抛物线对称轴的解析式为x=2，
当H₁为对称轴与OP的交点时，
有∠H₁OQ=∠POQ，∵当y_H＜﹣2时，∠HOQ＞∠POQ。
作P点关于OQ的对称点P'，
连接PP'交OQ于点M，过P'作P'N垂直于对称轴，垂足为N，连接OP'，
在Rt△OCQ中，
∵OC=4，CQ=1。∴OQ=，
∴S_△OPQ=S_{四边形ABCD}﹣S_△AOP﹣S_△COQ﹣S_△QBP=3=OQ×PM，
∴PM=，
∴PP'=2PM=，∵NPP'=∠COQ。
∴Rt△COQ∽△Rt△NPP'
∴，
∴ ，，
∴P'（），
∴直线OP'的解析式为，
∴OP'与NP的交点H₂（2，）。
∴当时，∠HOP＞∠POQ。
综上所述，当或时，∠HOQ＞∠POQ。