Question

已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF。
（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；
（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系。

Answer 1

（1）①证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°． ∵∠DAF=60°， ∴∠BAC=∠DAF． ∴∠BAD=∠CAF． ∵四边形ADEF是菱形， ∴AD=AF． ∴△ABD≌△ACF． ∴∠ADB=∠AFC． ②结论：∠AFC=∠ACB＋∠DAC成立； （2）结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC不成立， ∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=∠ACB∠DAC（或这个等式的正确变式）， 证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC= 60°． ∵∠DAF = 60°， ∴∠BAC=∠DAF， ∴∠BAD=∠CAF． ∵四边形ADEF是菱形， ∴AD=AF． ∴△ABD≌△ACF， ∴∠ADC=∠AFC． 又∵∠ACB=∠ADC＋∠DAC， ∴∠AFC=∠ACB－∠DAC． （3）补全图形如下图：∠AFC、∠ACB、∠DAC之间的等量关系是：∠AFC=2∠ACB－∠DAC（或∠AFC＋∠DAC＋∠ACB=180°以及这两个等式的正确变式）。