Question

5、设P为斜边AB上或其延长线上一点，S=AP²+BP²，那么（　　）

A、S＜2CP²

B、S=2CP²

C、S＞2CP²

D、不确定

Answer 1

分析：此题分两种情况讨论：①当P在线段AB上，②当P在直线AB上（线段AB以外的部分）；可利用勾股定理来探讨符合要求的点P有哪些．

解答：解：当点P在AB上时，过点C作CD⊥AB，
∵Rt△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=CD=BD，
∴S=AD²+BD²，
∵S=AP²+BP²，
∴点P与D重合，
∴S=2CP²．
当点P在BA的延长线上时，过点P作PF⊥BC，PE⊥CA；
PC²=PF²+CF²，AP²=AE²+PE²=AE²+FC²=2CF²，
PB²=BF²+PF²=PF²+（BC+CF）²=2PF²，
AP²+PB²=2CF²+PF²+PF²，
2PC²=2PF²+2CF²，
所以AP²+PB²=2PC²，
综上可知：S=2CP²．
故选B．

点评：本题主要考查的是勾股定理的应用，解法并不复杂，难点在于将问题考虑全面．