Question

如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F。
（1）证明：∠BAE=∠FEC；
（2）证明：△AGE≌△ECF；
（3）求△AEF的面积。

Answer 1

解：（1）∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FEC；
（2）∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，
∴AG=GB=BE=EC，且∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF=90°+45°=135°
在△AGE和△ECF中，

∴△AGE≌△ECF； 
（3）由△AGE≌△ECF，得AE=EF，
又∵∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
由AB=a，BE=a，知AE=a，
∴S_△AEF=a²。