Question

已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称(点A的对称点是点C)，点E、F分别是线段BC和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF、AE，AE交BD于点G．

(1)图l，求证：∠EAF＝∠ABD；

(2)图2，当AB＝AD时，M是线段AG上一点，连接BM、ED、MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF＝∠BAF，AF＝AD，试探究线段FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)连接FE、FC，先证△ABF、△CBF全等，得∠FEC＝∠BAF，通过四边形ABEF与三角形AEF内角和导出；(2)先由△AFG∽△BFA，推出∠AGF＝∠BAF，再得BG＝MG，通过△AGF∽△DGA，导出GD＝a，FD＝a，过点F作FQ∥ED交AE于Q，通过BE∥AD德线段成比例设EG＝2kBG＝MG＝3k，GQ＝EG＝，MQ＝3k＋＝，从而FM＝FN本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、平行线分线段成比例定理等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段比，注意不要出错 　　解答：(1)证明：图1连接FE、FC 　　∵点F在线段EC的垂直平分线上 　　∴．FE＝FC　∴∠l＝∠2　∵△ABD和△CBD关于直线BD对称．∴AB＝CB∠4＝∠3　BF＝BF 　　∴△ABF≌ACBF　∴∠BAF＝∠2　FA＝FC∴FE＝FA　∠1＝∠BAF．∴∠5＝∠6　∵∠l＋∠BEF＝180°∠BAF＋∠BEF＝180° 　　∵∠BAF＋∠BEF＋∠AFE＋∠ABE＝360°　∴．∠AFE＋∠ABE＝180°又∵∠AFE＋∠5＋∠6＝180° 　　∴∠5＋∠6＝∠3＋∠4 　　∴∠5＝∠4 　　即∠EAF＝∠ABD 　　(2)FM＝FN　证明：图2由(1)可知∠EAF＝∠ABD 　　又∵∠AFB＝∠GFA∴△AFG∽△BFA 　　∴∠AGF＝∠BAF 　　又∵∠MBF＝∠BAF．∠MBF＝∠AGF 　　又∵∠AGF＝∠MBG＋∠BMG 　　∴∠MBG＝∠BMG∴BG＝MG 　　∵AB＝AD∴∠ADB＝∠ABD＝∠EAF 　　又∵∠FGA＝∠AGD∴△AGF∽△DGA 　　∵AF＝AD 　　设GF＝2a 　　AG＝3A 　　∴GD＝a 　　∴FD＝＝a∵∠CBD＝∠ABD 　　∠ABD＝∠ADB 　　∴．∠CBD＝∠ADB∴BE//AD 　　∴ 　　设EG＝2k∴BG＝MG＝3k 　　过点F作FQ∥ED交AE于Q 　　∴ 　　∴GQ＝EG＝．MQ＝3k＋＝ 　　∵FQ∥ED 　　∴FM＝FN

提示：

考点：本题考查了三角形全等的判断和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定理，轴对称性质，三角形四边形内角和，线段的垂直平分线性质要求较高的视图能力和证明推理能力．