Question

如图所示．梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，AB=p，CD=q，E，F分别为AB，CD的中点，求EF．

Answer 1

分析：过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，根据平行线的性质及三角形内角和定理可得△FGH是直角三角形，由平行四边形的判定定理可知四边形ADGF、FHBC都是平行四边形，利用勾股定理可求出GH的长，再根据直角三角形的性质可求出EF的长．

解答：解：过点F分别作FG∥AD，FH∥BC交AB于G，H，（如图）
∴∠A=∠FGH，∠B=∠FHG，
∵∠B+∠A=90°，
∴∠FGH+∠FHG=90°，
∴△FGH是直角三角形，
∵FG∥AD，FH∥BC，AB∥CD，
∴四边形ADFG、FHBC都是平行四边形，
又∵E、F分别是两底的中点，
∴AE=EB，BH=AG，
∴GE=EH，
∴DF=AG=

q

2

，FC=HB=

q

2

，FG=AD，FH=BC，
在Rt△FGH中，即EF是Rt△FGH斜边的中线，
∴EF=

1

2

GH=

1

2

（AB-CD）=

p-q

2

．

点评：本题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质解答．