Question

如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，D、E两点分别在AC、BC上，且DE∥AB，CD=2，将△CDE绕点C顺时针旋转，得到△CD'E'（如图②，点D'、E'分别与点D、E对应），点E'在AB上，D'E'与AC相交于点M。

（1）求∠ACE'的度数；
（2）求证：四边形ABCD'是梯形；
（3）求△AD'M的面积。

Answer 1

解：（1）如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠B=∠ACB=45°， ∵DE∥AB， ∴∠DEC=∠DCE=45°，∠EDC=90°， ∴DE=CD=2， ∴CE=CE′=4， 如图2，在Rt△ACE中，∠E′AC=90°，AC=2，CE′=4， ∴cos∠ACE′=， ∴∠ACE′=30°； （2）如图2，∠D′CE′=∠ACB=45°，∠ACE′=30°， ∴∠D′CA=∠E′CB=15°， 又， ∴△D′CA∽△E′CB， ∴∠D′AC=∠B=45°， ∴∠ACB=∠D′AC， ∴AD′∥BC， ∵∠B=45°，∠D′CB=60°， ∴∠ABC与∠D′CB不互补， ∴AB与D′C不平行， ∴四边形ABCD′是梯形； （3）在图②中，过点C作CF⊥AD′，垂足为F， ∵AD′∥BC， ∴CF⊥BC， ∴∠FCD′=∠ACF-∠ACD′=30°， 在Rt△ACF中，AF=CF=， ∴S△ACF=3， 在Rt△D′CF中，CD′=2，∠FCD′=30°， ∴D′F=， ∴S△D′CF=3， 同理，SRt△AE′C=2，SRt△D′E′C=4， ∵∠AME′=∠D′MC，∠E′AM=∠CD′M， ∴△AME′∽△D′MC， ， ∴ ∵ （3）-（2），得， 由（1），得， ∴， ∴的面积是。