Question

如图，点C为线段AB上任意一点(不与A、B重合)，分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．

(1)求证：△ACE≌△DCB；

(2)请你判断△AMC与△DMP的形状有何关系并说明理由；

(3)求证：∠APC＝∠BPC．

Answer 1

答案：
解析：

　　解答：(1)证明：∵∠ACD＝∠BCE，

　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，

　　∴∠ACE＝∠DCB，

　　又∵CA＝CD，CE＝CB，

　　∴△ACE≌△DCB．

　　(2)△AMC∽△DMP．

　　理由：∵△ACE≌△DCB，

　　∴∠CAE＝∠CDB，

　　又∵∠AMC＝∠DMP，

　　∴△AMC∽△DMP．

　　(3)∵△AMC∽△DMP，

　　∴MA：MD＝MC：MP．

　　又∵∠DMA＝∠PMC，

　　∴△AMD∽△CMP，

　　∴∠ADC＝∠APC．

　　同理∠BEC＝∠BPC．

　　∵CA＝CD，CB＝CE，

　　∴∠ADC＝(180°－∠ACD)，

　　∠BEC＝(180°－∠BCE)．

　　∵∠ACD＝∠BCE，

　　∴∠ADC＝∠BEC，

　　∴∠APC＝∠BPC．

　　分析：(1)证明∠ACE＝∠DCB，根据“SAS”证明全等；

　　(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以两个三角形相似；

　　(3)由(2)得对应边成比例，转证△AMD∽△CMP，得∠APC＝∠ADC；同理，∠BPC＝∠BEC．在两个等腰三角形中，顶角相等，则底角相等．

　　点评：此题考查相似(包括全等)三角形的判定和性质，综合性较强，第三问难度较大．