Question

已知，如图，以Rt△ABC的斜边AB为直径作⊙O，D是弧BC上的点，且有弧AC=弧CD，连CD、BD，在BD延长线上取一点E，使∠DCE=∠ CBD
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD=2，DE和CE的长度的比为，求⊙O半径。

Answer 1

（1）证明：连接OC ∵ ∴∠ABC=∠DBC=∠OCB ∴OC∥BE ∴∠OCE+∠E=180° ∵∠CDE+∠BDC=∠CAB+∠BDC=180° ∴∠EDC=∠CAB 而 ∠DCE=∠CBD=∠ABC，∠CAB+∠ABC=90° ∴∠DCE+∠EDC=90° ∴∠E=90° ∴∠OCE=90° ∴CE是⊙O的切线 （2）解： 连接AD交OC于点F ∵ ∴OC⊥AD ∴∠CFD=90° 在Rt△CFD中， 设DE=x，则CE=2x ，而 CD= 根据勾股定理得： 解得：x=4  ∴DE=2 CE=4 ∵ ∠E=∠OCD=∠ADE=90° ∴ ∠CFD=90° 四边形CEDF是矩形 ∴ AF=DF=CE=4 ， CF=DE=2  设 OA=r 根据勾股定理得 ∴  答：所求的半径为5