Question

已知x₁，x₂是关于的方程（x-2）（x-m）=（p-2）（p-m） 的两个实数根。
（1）求x₁，x₂的值；
（2）若x₁，x₂是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值。

Answer 1

解：（1）原方程变为：x²-（m+2）x=2m=p²-（m+2）p+2m
∴x²-p²-（m+2）x+（m+2）p=0 ，
∴（x-p）（x+p）-（m+2）（x-p）=0，
即（x-p）（x+p-m-2）=0，
∴x₁=p，x₂=m+2-p
（2）∵直角三角形的面积为x₁x₂=p（m+2-p）
=-p²+（m+2）p
=-[p²-（m+2）p+（）²-（）]，
=-（p-）²+
∴当p=且m＞-2时，以x₁，x₂为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或。