Question

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F，
（1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF，FH的长．

Answer 1

解：（1）DF与⊙O相切． 理由如下：连接OD． ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形， ∴∠DOB=60°， ∴∠DOB=∠C=60°， ∴OD∥AC． ∵DF⊥AC， ∴DF⊥OD， ∴DF与⊙O相切； （2）连接CD． ∵CB是⊙O直径， ∴DC⊥AB． 又∵AC=CB=AB， ∴D是AB中点， ∴AD=AB=×8=4． 在直角三角形ADF中， ∠A=60°，∠ADF=30°，∠AFD=90°， ∴AF=AD=×4=2； ∴FC=AC﹣AF=8﹣2=6． ∵FH⊥BC， ∴∠FHC=90°． ∵∠C=60°， ∴∠HFC=30°， ∴HC=FC=×6=3， ∴FH==3．