Question

在直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是（3，0）．将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．

（1）       求k的值；

（2）       求直线BC和抛物线的解析式；

（3）       求△ABC的面积；

（4）       设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

 

Answer 1

 解（1）直线沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C

从而可设直线BC的方程为

令，得C（0，3）

又B（3，0）在直线上，

∴

∴

（2）由（1），直线BC的方程为

又抛物线过点B，C

∴

∴抛物线方程为

（3）由（2），令

得

即A（1，0），B（3，0），而C（0，3）

∴△ABC的面积S_△ABC=（3-1）?3=3平方单位

   （4）由（2），D（2，），设对称轴与x轴交于点F，与BC交于E，可得E（2，1），

连结AE．

∵

∴AE⊥CE，且AE=，CE=

（或先作垂线AE⊥BC，再计算也可）

在Rt△AFP与Rt△AEC中，

∵∠ACE=∠APE（已知） 

∴  即=

∴

∴点P的坐标为（2，2）或（2，）

（x轴上、下方各一个）