Question

自然数n的正约数共有10个，则n的最小值是     ．

Answer 1

【答案】分析：根据正整数的约数个数定理进行解答，即一个整数N（N＞1），如果它的标准分解式为，那么它的约数个数为（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_n）．
解答：解：设 则n的正约数的个数=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k），
∵10=1×10=2×5，
∴（1+a₁）（1+a₂）=1×10或（1+a₁）（1+a₂）=2×5，
由 1+a₁=1得a₁=0，
1+a₂=10得a₂=9，
∴此时最小的n为：2⁹=512，
由1+a₁=2得a₁=1，
1+a₂=5得a₂=4，
∴此时最小的n为：2⁴×3¹=16×3=48，
因此，具有10个正约数的自然数n的最小值为48．
故答案为：48．
点评：本题考查的是质因数的分解，熟知正整数的约数个数定理是解答此题的关键．