Question

自然数n的正约数共有10个，则n的最小值是 ______．

Answer 1

设 则n的正约数的个数=（1+a₁）（1+a₂）…（1+a_k），
∵10=1×10=2×5，
∴（1+a₁）（1+a₂）=1×10或（1+a₁）（1+a₂）=2×5，
由 1+a₁=1得a₁=0，
1+a₂=10得a₂=9，
∴此时最小的n为：2⁹=512，
由1+a₁=2得a₁=1，
1+a₂=5得a₂=4，
∴此时最小的n为：2⁴×3¹=16×3=48，
因此，具有10个正约数的自然数n的最小值为48．
故答案为：48．