Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在BA的延长线上，直线CD与⊙O相切于点D，弦DF⊥AB于点E，线段CD=10，连接BD。

（1）求证：∠CDE=2∠B；
（2）若BD∶AB=∶2，求⊙O的半径及DF的长。

Answer 1

解：（1）证明：连接OD， ∵直线CD与⊙O相切于点D， ∴OD⊥CD， ∴∠CDO=90°， ∴∠CDE+∠ODE=90°， 又∵DF⊥AB， ∴∠DEO=∠DEC=90°， ∴∠EOD+∠ODE=90°， ∴∠CDE=∠EOD， 又∵∠EOD=2∠B， ∴∠CDE=2∠B； （2）连接AD， ∵AB是圆O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵BD∶AB=∶2， ∴在Rt△ADB中，cosB=， ∴∠B=30°， ∴∠AOD=2∠B=60°， 又∵在Rt△CDO中，CD=10， ∴OD=10tan30°=，即⊙O的半径为， 在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°， ∴DE=CDsin30°=5， ∵弦DF⊥直径AB于点E， ∴DE=EF=DF， ∴DF=2DE=10。