已知抛物线y=x2+4x+m(1)求m的值,(2)将该抛物线先向右.再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件:它的对称轴(设为直线l2)与平移前的抛物线的对称轴(设为l1)关于y轴对称,它所对应的函数的最小值为-8．①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式,②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P.使得以3为半径的⊙P既与x轴相切.又与直线l2相交?若存在.请求� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2011•广西）已知抛物线y=x²+4x+m（m为常数）经过点（0，4）
（1）求m的值；
（2）将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线．已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l₂）与平移前的抛物线的对称轴（设为l₁）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为-8．
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与直线l₂相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l₂被⊙P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由．

【答案】分析：（1）将（0，4）代入抛物线，得：0²+4×0+m=4，解得m=4；
（2）①根据（1）求出的抛物线，可知其对称轴，平移后的抛物线的对称轴与平移前的对称轴关于y轴对称，即可求出新抛物线对称轴，再根据第二个条件，最小值为-8，即可求出平移后的抛物线的关系式；
②该题需要分情况讨论，假设p点存在，且p在x轴上方，根据题意可知，p的纵坐标是3，代入关系式求解，求出p点坐标，在验证该点是否在直线上；若p在y轴下方，则p的纵坐标是-3，代入关系式，求出坐标，再进行检验．
解答：解：（1）依题意得：0²+4×0+m=4，解得m=4（3分）

（2）①由（1）得：y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴对称轴为直线l₁：x=-2（4分）
依题意得平移后的抛物线的对称轴为直线l₂：x=2（5分）
故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=（x-2）²+k（6分）
∵此函数最小值为-8，
∴k=-8
即平移后的抛物线所对应的函数关系式为y=（x-2）²-8=x²-4x-4（7分）
②存在．理由如下：
由①知平移后的抛物线的对称轴为直线l₂：x=2
当点P在x轴上方时，∵⊙P与x轴相切，
∴令y=x²-4x-4=3，
解得x=2±

（8分）
∵此时点P₁（2+

，3），P₂（2-

，3）与直线x=2之距均为

，
∴点P₁、P₂不合题意，应舍去．（9分）
当点P在x轴下方时，
∵⊙P与x轴相切，
∴令y=x²-4x-4=-3，
解得x=2±

（10分）
此时点P₃（2+

，-3），P₄（2-

，-3）与直线x=2之距均为

，
∵

＜3，⊙P₃、⊙P₄均与直线l₂：x=2相交，
∴点P₃、P₄符合题意．（11分）
此时弦AB=2×

综上，点P的坐标为（2+

，-3）或（2-

，-3），
直线l₂被⊙P所截得的弦AB的长为4．（13分）
点评：再熟练掌握二次函数的解析式和图象之间的关系下，掌握平移引起的对称轴的变化；该题综合性开放性很强，二次函数图象与圆相切，以及与一次函数的交点等等问题，是综合型的函数题中常见的问题．

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