Question

如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与A重合。
（1）只使用直尺和圆规，作出折痕EF，其与AD交与F，BC与E，并作出点D的对应点D′。
（2）连接AE、CF，猜想四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论。
（3）当AB=12，AD=18时求折痕EF长。

Answer 1

解：（1）如图：

（2）如图，∵∠AOF=∠COE，AO=CO，∠FAO=∠ECO，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
故AF∥CE，AF=CE，
所以四边形AECF为平行四边形，
又因为AF=CF，所以四边形AECF为菱形；

（3）设BE=x，则EC=AE=18-x，
故在Rt△ABE中，（18-x）²=x²+12²，
解得，x=5，
∵菱形对角线互相平分，
∴AO=CO，
在Rt△ABC中，AC=，
AO=3，EO²=AE²-AO²=13²-（3）²=5²，
∴EO=2，
∴EF=4。