Question

已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3．
(1)如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？
(2)如图2，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
(3)若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．
(4)如图3，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA(n为常数)，以PE、PB为边作□PBQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵四边形PCQD是平行四边形，若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，
∴∠DPC＝90°，
∵AD＝1，AB＝2，BC＝3，
∴DC＝2，
设PB＝x，则AP＝2－x，
在Rt△DPC中，PD2＋PC2＝DC2，
即x²＋3²＋(2－x)²＋1＝8，化简得x²－2x＋3＝0，
∵△＝(－2)²－4×1×3＝－8＜0，
∴方程无解，
∴对角线PQ与DC不可能相等．
（2）在平行四边形PCQD中，设对角线PQ与DC相交于点G，
则G是DC的中点，过点Q作QH∥BC，交BC的延长线于H，
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH，
∵PD∥CQ，
∴∠PDC＝∠DCQ，
∴∠ADP＝∠QCH，
又∵PD＝CQ，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，
∴AD＝HC，
∴AD＝1，BC＝3，BH＝4，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．
（3）设PQ与DC相交于点G，PE∥CQ，PD＝DE，
∴＝＝，G是DC上一定点，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，
同理可证∠ADP＝∠QCH，
∴Rt△ADP≌Rt△HCQ，即＝＝，
∴CH＝2，
∵BH＝BG＋CH＝3＋2＝5，
∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为5．
(4)：设PQ与AB相交于点G，
∵PE∥BQ，AE＝nPA，
∴＝，
∴G是DC上一定点，作QH∥PE，交CB的延长线于H，
过点C作CK⊥CD，交QH的延长线于K，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴∠D＝∠QHC，
∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°，∠PAG＝∠QBG，
∴∠QBH＝∠PAD，
∴△ADP≌△BHQ，
∴，
∵AD＝1，
∴BH＝n＋1，CH＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4，
过点D作DM⊥BC于M，则四边形ABND是矩形，
∴BM＝AD＝1，DM＝AB＝2×CM＝BC－BM＝3－1＝2＝DM，
∴∠DCM＝45°，
∴∠KCH＝45°，CK＝CHcos45°＝(n＋4)，
∴当PQ⊥CD时，PQ的长最小，最小值为(n＋4)．