△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形.M.N分别是直角边AC.BC的中点．△ABC位置固定.△A′B′C′按如图叠放.使斜边A′B′在直线MN上.顶点B′与点M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移.直到点A'与点N重合．设x秒时.△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．(1)当△A′B′C′与△ABC重叠� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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△ABC与△A′B′C′是两个直角边都等于4厘米的等腰直角三角形，M、N分别是直角边AC、BC的中点．△ABC位置固定，△A′B′C′按如图叠放，使斜边A′B′在直线MN上，顶点B′与点M重合．等腰直角△A′B′C′以1厘米/秒的速度沿直线MN向右平移，直到点A'与点N重合．设x秒时，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为y平方厘米．

（1）当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为

平方厘米时，求△A′B′C′移动的时间；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）求△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值．

分析：本题的关键是求出重合部分的面积与x的函数关系式，可分三种情况进行讨论：
①当B′在△ABC内部时，即当0≤x≤2

时，此时重合部分是平行四边形，以MB′为底，以AM•sin45°为高．据此可求出此时y，x的函数关系式．
②当A′，B′都在△ABC外部时，即当2

≤x≤4

时，此时重合部分是个六边形，可用△A′B′C′的面积-△A′ME的面积-△B′ND的面积-△GC′F的面积来求解．
③当A′在△ABC内部时，即当4

≤x≤6

时，此时重合部分是平行四边形，求法和①相同．
根据上述三种情况可得出三个不同的函数解析式，根据函数式即可求出当y为

平方厘米时x的值，以及y的最大值及对应的x的值．

解答：

解：（1）①如图1，当B′在△ABC内时，重叠部分是平行四边形，
由题意得：

，
解得x=

．
②如图3，当A′在△ABC内时，重叠部分是平行四边形，
由题意得：A′N=6

-x，y=（6

-x）×

，
解得x=6

，
综上所述，当△A′B′C′与△ABC重叠部分面积为

平方厘米时，△A′B′C′移动的时间为

或（6

）秒．

（2）①如图1，当0≤x≤2

时y=

x，

②如图2，当2

≤x≤4

时，如图，△DB′N，△A′ME，△C′FG是等腰直角三角形，
由B′N=x-2

，GF=MN=2

，A′M=4

-x，
则y=

×4×4-

×2×2-

×（x-2

）²-

（4

-x）²即y=-

x²+3

x-4；
③如图3，当4

≤x≤6

时，A′M=x-4

，A′N=2

-x+4

-x，
y=A′N×

x+12．

（3）①当0≤x≤2

时，最大值=4，
②当2

≤x≤4

时，最大值=5，
③当4

≤x≤6

时，最大值=4，
所以，△A′B′C′与△ABC重叠部分面积的最大值为5．

点评：本题主要考查了等腰直角三角形的性质、图形面积的求法以及一次函数与二次函数的综合应用等知识点．

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．

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③∠B=∠B₁=75°，∠C=50°，∠A₁=55°
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