Question

如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F。

（1）若DC=2DF时，请直接写出的值；
（2）若DC=3DF时，请直接写出的值；
（3）则若DC=nDF时，猜测的值，并请证明。

Answer 1

解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y ∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即y²+x²=（3x）² ∴y=2 ，
 
（2）；
（3）由（1）知，GF=DF，
设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n?DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC²+CF²=BF²，
即y²+[（n-1）x]²=[（n+1）x]²
∴y=2x ，